Tiro vertical y caída libre

Estos movimientos se resuelven con las mismas ecuaciones de MRUV, tomando como aceleración la de la gravedad de la tierra, que en vez de "a" la llamamos "g". La aceleración de la tierra también es una magnitud vectorial y su módulo es:


Su signo depende de cómo ubiquemos el sistema de referencia. Si el sistema lo ponemos creciente desde la tierra hacia arriba entonces g tiene signo negativo.

Debido a que trabajamos con sistemas coordenados, utilizamos la misma fórmula para el tiro vertical que para la caída libre (que además son las mismas formulas que utilizamos para todo MRUV). Tomamos positiva a la aceleración cuando hace aumentar a la velocidad en el sentido que crece el sistema de referencia y negativa en el otro caso.

Tiro Vertical

El tiro vertical corresponde al movimiento en el cual se lanza un objeto en línea recta hacia arriba con una velocidad inicial.

Caída Libre

La caída libre corresponde al movimiento en dónde se deja caer un objeto. El siguiente gráfico corresponde a la velocidad durante la caída libre, poniendo un sistema de coordenadas con el origen en el piso y dirigido hacia arriba, es decir la velocidad tiene signo negativo.

Con esta disposición, la aceleración también tiene signo negativo. En el gráfico consideramos velocidad inicial nula. Si realizamos un ejercicio completo de tiro vertical y caída libre, hay que tener en cuenta que en el tiro vertical sí tenemos velocidad inicial, pero la caída libre es otro movimiento que comienza justamente cuando esa velocidad es cero.

Características del tiro vertical y la caída libre

En ambos casos se toman en cuenta las velocidades iniciales y las distancias, pero no intervienen el peso o la masa para calcular la altura o el tiempo.

Debería importar la forma de los objetos con el fin de calcular el rozamiento con el aire (que ejerce una fuerza), pero no lo consideramos en estos ejercicios.

Para el tiro vertical, en el caso de que utilicemos un sistema de referencia dirigido hacia arriba, la aceleración tiene signo negativo y velocidad inicial positiva. En la caída libre, con el mismo sistema de referencia, la velocidad es negativa (en aumento) y la aceleración no cambia de signo (con ese sistema seguiría siendo negativa).

Tiro oblicuo

Muchas veces la trayectoria de un móvil no es en línea recta. En esta sección vamos a analizar especialmente aquellos casos en donde actúa la aceleración de la gravedad.

Para resolver este tipo de ejercicios se suele descomponer el movimiento y la velocidad en los ejes "X" e "Y" y calcular los movimientos por separado. En los ejemplos siguientes, sobre el eje vertical (Y) tenemos un MRUV con la aceleración de la gravedad y sobre el horizontal un MRU con la velocidad calculada VX.

Por lo tanto para resolver ejercicios de tiro oblicuo primero descomponemos la velocidad inicial en X e Y (con las funciones coseno y seno).

Ejemplos

Lanzamiento de una bala de cañón. Lo primero que hacemos en este caso es descomponer las velocidades.

Si debido al ángulo aparece una componente VY (sobre el eje Y) habrá primero un movimiento similar a un tiro vertical (con velocidad inicial VY) y luego una caída libre (con velocidad inicial 0).Todo esto mientras en X hay un MRU (con velocidad VX).



En este caso la velocidad en X es constante:



La velocidad en Y varía con la aceleración de la gravedad. En este ejemplo primero va disminuyendo hasta hacerse cero (como un tiro vertical) y luego comienza a aumentar en sentido contrario (como una caída libre).



Si por ejemplo se tratase de un tiro horizontal (paralelo a X) no hay VY y por lo tanto sobre el eje Y tenemos únicamente una caída libre desde la altura del tiro hasta el piso.



Al igual que en el caso anterior, la velocidad en X es constante.



El gráfico de la velocidad en Y es similar al de una caída libre.

Ejercicios de tiro vertical y caída libre

Ejercicio 1

Se lanza verticalmente y hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

¿En qué tiempo alcanza esa altura?

Solución

Lo primero que hacemos es plantear un sistema de referencia. Elegimos plantearlo en el mismo sentido que la velocidad inicial, por lo tanto la gravedad (que apunta en sentido contrario al sistema de referencia) tiene signo negativo.

Planteamos la relación entre velocidad final, inicial, distancia y aceleración en MRUV y despejamos la distancia.


Sabemos que la altura máxima se alcanza cuando la velocidad final es 0. Reemplazamos los valores y obtenemos la distancia.


Para obtener el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, lo despejamos de la ecuación horaria de MRUV.


La altura máxima la alcanza en 2,04 s.

Problema n° 2) Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s.

a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?

b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?

Usar g = 10 m/s².

Desarrollo

Datos:

t = 5 s

Altura piso = 2,88 m

Ecuaciones:

1) Δh = g.t²/2

2) V_f = g.t

Solución:

a)

De la ecuación (1):

Δh = (10 m/s²).(5 s)²/2

Δh = 125 m (ésta es la altura total)

Sabemos que cada piso mide 2,88 m, entonces dividimos:

Nº de piso = Δh/altura piso

Nº de piso = 125 m/2,88 m = 43,4 = Piso 43

b)

De la ecuación (2):

V_f = (10 m/s²).(5 s)

V_f = 50 m/s

Problema n° 3) Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular:

a) ¿Cuánto tarda en oír la explosión?

b) ¿A qué distancia se encontraba el objetivo?

Se recuerda que en tiro parabólico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilíneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y caída libre).

Donde no se indica se emplea g = 10 m/s².

Datos:

v_x = 1080 km/h = 300 m/s g = 10 m/s².

v_0y = 0 m/s

h = 500 m

Ecuaciones:

(1) v _fy = v_0y + g.t

(2) h = v_0y.t + g.t²/2

(3) v_x = Δx/Δt

El gráfico es:

El tiempo que tarda en caer la bomba lo calculamos de la ecuación (2):

t = 10 s

La distancia recorrida por la bomba a lo largo del eje "x" será:

v_x = x/t
x = v_x.t
x = (300 m/s).(10 s)
x = 3000 m

Es la respuesta al punto (b).

En el mismo instante que la bomba toca el suelo el avión pasa sobre ella, es decir 500 m sobre la explosión.

Si la velocidad del sonido es 330 m/s:

v_x = x/t
t = x/v_x
t = (500 m)/(330 m/s)
t = 1,52 s

La respuesta al punto (a) es:

t = 10 s + 1,52 s
t = 11,52 s

Problema n° 4) Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar:

a) ¿A qué distancia del objetivo cae la bomba?

b) ¿Cuánto tarda la bomba en llegar al suelo?

c) ¿Dónde esta el avión al explotar la bomba?

Se recuerda que en tiro parabólico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilíneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y caída libre).

Donde no se indica se emplea g = 10 m/s².

Datos:

v_x = 800 km/h = 222,22 m/s

v_0y = 0 m/s

h = 2000 m

d = 5000 m

Ecuaciones:

(1) v _fy = v_0y + g.t

(2) h = v_0y.t + g.t²/2

(3) v_x = Δx/Δt

El gráfico es:

a) Primero calculamos el tiempo que demora en caer, de la ecuación (2):

h = g.t²/2
t = √2.h/g

t = 20 s

Luego con la ecuación (3) obtenemos el punto de impacto:

v_x = x/t
x = v_x.t
x = (222,22 m/s).(20 s)
x = 4444,44 m

Por lo tanto el proyectil cae a:

d = 5000 m - 4444,44 m
d = 555,55 m

b) ES el tiempo hallado anteriormente:

t = 20 s

c) Sobre la bomba, ambos mantienen la misma velocidad en el eje "x".

Problema n°5 ) Se dispara un proyectil con un cañón que forma un ángulo de 60° con respecto a la horizontal, si la velocidad del proyectil al momento de dejar la boca del cañón es de 400 m/s.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? (g = 10 m/s²)

Datos:

α = 60°

v = 400 m/s

g = 10 m/s²

Ecuaciones:

(1) v_f² = v₀² + 2.g.Δy

Como gráfico tenemos:

Primero calculamos la componente vertical de la velocidad (v_y):

sen α = v_y/v

v_y = v.sen α

v_y = (400 m/s).sen 60°

v_y = (400 m/s).0,866

v_y = 346,41 m/s

En el tiro parabólico, el movimiento sobre el eje “y” es igual que en el “Tiro vertical”, y valen todas sus ecuaciones.

Para calcular la altura máxima, debemos considerar que ocurre cuando la velocidad en “y” se hace “cero”, es decir que la velocidad final será cero:

v_f = 0 m/s

La velocidad inicial es la calculada anteriormente (v_y = 346,41 m/s).

Podemos aplicar la fórmula (para el eje “y”):

v_f² = v₀² + 2.g.Δy

0² = v₀² + 2.g.Δy

-v₀² = 2.g.Δy

Δy = -v₀²/2.g

Δy = -(346,41 m/s)²/[2.(-10 m/s²)]

Δy = 6000 m

Tiro parabólico

Resolver los siguientes problemas:

Problema n° 1) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular:

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?

b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?

c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?

Respuesta: a) 509,68 m

b) 1.732,05 m

c) 3.464,1 m

.

Problema n° 2) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar:

a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?

b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posición se podría haber disparado?

Respuesta: a) 49,46 m/s

b) 17 m

Problema n° 3) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:

a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?

b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?

c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?

Respuesta: a) 1,41 s

b) No

c) 17,18 m

Problema n° 4) Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará.

Respuesta: 165,99 m

Problema n° 5) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:

a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?

b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?

c) ¿Qué alcance tendrá?

d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?

Respuesta: a) 9,75 m

b) 10,2 m

c) 40,82 m

d) 1,41 s

Problema n° 6) Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?

Respuesta: 26° 16´ 16"